如图甲所示，在 xOy 平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律如图乙所示（规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在 t=0 时刻，质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子自坐标原点 O 处，以 v_0=2 , \text{m/s} 的速度沿 x 轴正向水平射出。已知电场强度 E_0=\frac{2m}{q} (\text{V/m})，磁感应强度 B_0=\frac{2\pi m}{q} (\text{T})，不计粒子重力。求：
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(1) 由题意，粒子在 0 \sim 1 \, \text{s} 内做类平抛运动，根据牛顿第二定律有 qE_0 = ma 可得粒子沿 y 轴正方向的加速度大小为 a = 2 \, \text{m/s}^2 t = 1 \, \text{s} 末粒子沿 y 轴的分速度大小为 v_{y1} = at_1 合速度大小为 v_1 = \sqrt{v_0^2 + v_{y1}^2} 设 v_1 与 x 轴正方向的夹角为 \theta，根据速度的合成与分解有 \tan \theta = \frac{v_{y1}}{v_0} 可解得 v_1 = 2\sqrt{2} \, \text{m/s}, \theta = 45^\circ 所以 v_1 的方向与 x 轴正方向的夹角为 45^\circ 斜向右上。查看答案
(2) 1 \sim 2 \, \text{s} 内，设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 r_1 根据牛顿第二定律有 m \frac{v_1^2}{r_1} = qv_1 B_0 粒子运动的周期为 T = \frac{2\pi r_1}{v_1} 解得 r_1 = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \, \text{m}, T = 1 \, \text{s}查看答案
(3) t = 1 \, \text{s} 时粒子在 x, y 轴方向的位移大小分别为 x_1 = v_0 t_1 y_1 = \frac{1}{2} v_1 t_1解得 x_1 = 2\text{m}, , y_1 = 1\text{m}
根据 (2) 分析可知， 1 \sim 2\text{s} 内，粒子做轨迹半径 r_1 = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\text{m} 的圆周运动， t = 2 \text{s} 末时粒子回到第 1 次做圆周运动的起始点，保持与第 1 次做类平抛运动的相同轨迹继续做类平抛运动， t = 3 \text{s} 末时粒子沿 y 轴的分速度大小为 v_{y2} = a t_2
合速度大小 v_2 = \sqrt{v_0^2 + v_{y2}^2}
在 x, y 轴方向的位移大小分别为
x_2 = v_0 t_2
y_2 = \frac{1}{2} v_2 t_2
代入数据得 v_2 = 2\sqrt{5}\text{m/s}, x_2 = 4 \text{m}, , y_2 = 4\text{m}
则 3 s 末粒子的坐标为 (4 \text{m}, 4\text{m}) 。